浮点数的加法和精度损失 #
浮点数的加法原理，记住六个字就行了，那就是先对齐、再计算。两个浮点数的指数位可能是不一样的，所以我们要把两个的指数位，变成一样的，然后只去计算有效位的加法就好了。
比如 0.5，表示成浮点数，对应的指数位是 -1，有效位是 00…（后面全是 0，记住 f 前默认有一个 1）。0.125 表示成浮点数，对应的指数位是 -3，有效位也还是 00…（后面全是 0，记住 f 前默认有一个 1）。
那我们在计算 0.5+0.125 的浮点数运算的时候，首先要把两个的指数位对齐，也就是把指数位都统一成两个其中较大的 -1。对应的有效位 1.00…也要对应右移两位，因为 f 前面有一个默认的 1，所以就会变成 0.01。然后我们计算两者相加的有效位 1.f，就变成了有效位 1.01，而指数位是 -1，这样就得到了我们想要的加法后的结果。
实现这样一个加法，也只需要位移。和整数加法类似的半加器和全加器的方法就能够实现，在电路层面，也并没有引入太多新的复杂性。
回到浮点数的加法过程，你会发现，其中指数位较小的数，需要在有效位进行右移，在右移的过程中，最右侧的有效位就被丢弃掉了。这会导致对应的指数位较小的数，在加法发生之前，就丢失精度。两个相加数的指数位差的越大，位移的位数越大，可能丢失的精度也就越大。当然，也有可能你的运气非常好，右移丢失的有效位都是 0。这种情况下，对应的加法虽然丢失了需要加的数字的精度，但是因为对应的值都是 0，实际的加法的数值结果不会有精度损失。
32 位浮点数的有效位长度一共只有 23 位，如果两个数的指数位差出 23 位，较小的数右移 24 位之后，所有的有效位就都丢失了。这也就意味着，虽然浮点数可以表示上到 3.40×1038，下到 1.17×10−38 这样的数值范围。但是在实际计算的时候，只要两个数，差出 224，也就是差不多 1600 万倍，那这两个数相加之后，结果完全不会变化。
你可以试一下，我下面用一个简单的 Java 程序，让一个值为 2000 万的 32 位浮点数和 1 相加，你会发现，+1 这个过程因为精度损失，被“完全抛弃”了。
public class FloatPrecision {
public static void main(String[] args) {
float a = 20000000.0f;
float b = 1.0f;
float c = a + b;
System.out.println("c is " + c);
float d = c - a;
System.out.println("d is " + d);
}
}
对应的输出结果就是：
c is 2.0E7
d is 0.0
Viewpoint #
From #
16 | 浮点数和定点数（下）：深入理解浮点数到底有什么用？