浮点数在二进制中的表示 #
浮点数在内存中的二进制表示（Bit Representation）要比整型复杂得多，IEEE
754 规范给出了在内存中存储和表示一个浮点数的标准形式，见下图：
我们看到浮点数在内存中的二进制表示分三个部分：符号位、阶码（即经过换算的指数），以及尾数。这样表示的一个浮点数，它的值等于：
其中浮点值的符号由符号位决定：当符号位为 1 时，浮点值为负值；当符号位为 0 时，浮点值为正值。公式中 offset 被称为阶码偏移值。
我们首先来看单精度（float32）与双精度（float64）浮点数在阶码和尾数上的不同。这两种浮点数的阶码与尾数所使用的位数是不一样的，你可以看下 IEEE
754 标准中单精度和双精度浮点数的各个部分的长度规定：
我们看到，单精度浮点类型（float32）为符号位分配了 1 个 bit，为阶码分配了 8 个 bit，剩下的 23 个 bit 分给了尾数。而双精度浮点类型，除了符号位的长度与单精度一样之外，其余两个部分的长度都要远大于单精度浮点型，阶码可用的 bit 位数量为 11，尾数则更是拥有了 52 个 bit 位。
接着，我们再来看前面提到的“阶码偏移值”，我想用一个例子直观地让你感受一下。在这个例子中，我们来看看如何将一个十进制形式的浮点值 139.8125，转换为 IEEE 754 规定中的那种单精度二进制表示。
- 我们要把这个浮点数值的整数部分和小数 部分，分别转换为二进制形式（后缀 d 表示十进制数，后缀 b 表示二进制数）：整数部分：139d => 10001011b；小数部分：0.8125d => 0.1101b（十进制小数转换为二进制可采用“乘 2 取整”的竖式计算）。这样，原浮点值 139.8125d 进行二进制转换后，就变成 10001011.1101b。
- 移动小数点，直到整数部分仅有一个 1，也就是 10001011.1101b => 1.00010111101b。我们看到，为了整数部分仅保留一个 1，小数点向左移了 7 位，这样指数就为 7，尾数为 00010111101b。
- 计算阶码。 IEEE754 规定不能将小数点移动得到的指数，直接填到阶码部分，指数到阶码还需要一个转换过程。对于 float32 的单精度浮点数而言，阶码 = 指数 + 偏移值。偏移值的计算公式为 2^(e-1)-1，其中 e 为阶码部分的 bit 位数，这里为 8，于是单精度浮点数的阶码偏移值就为 2^(8-1)-1 = 127。这样在这个例子中，阶码 = 7 + 127 = 134d = 10000110b。float64 的双精度浮点数的阶码计算也是这样的。
- 将符号位、阶码和尾数填到各自位置，得到最终浮点数的二进制表示。尾数位数不足 23 位，可在后面补 0。
这样，最终浮点数 139.8125d 的二进制表示就为 0b_0_10000110_00010111101_000000000000。
最后，我们再通过 Go 代码输出浮点数 139.8125d 的二进制表示，和前面我们手工转换的做一下比对，看是否一致。
func main() {
var f float32 = 139.8125
bits := math.Float32bits(f)
fmt.Printf("%b\n", bits)
}
在这段代码中，我们通过标准库的 math 包，将 float32 转换为整型。在这种转换过程中，float32 的内存表示是不会被改变的。然后我们再通过前面提过的整型值的格式化输出，将它以二进制形式输出出来。运行这个程序，我们得到下面的结果：
1000011000010111101000000000000
我们看到这个值在填上省去的最高位的 0 后，与我们手工得到的浮点数的二进制表示一模一样。这就说明我们手工推导的思路并没有错。